Determinants

Determinants ir kvadrātiskai skaitļu tabulai piekārtota vērtība (arī skaitlis). To apzīmē šādi:

$| \begin{array}{c} a_{11} \end{array} |$ (pirmās kārtas determinants), $| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} |$ (otrās kārtas determinants), $| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ (trešās kārtas determinants) utt. Ar $a_{i j}$ apzīmēti šajā kvadrātiskā tabulā esošie skaitļi (pirmais indekss norāda uz attiecīgā elementa rindu, otrs uz tā kolonnu).

Ja tabula ir ar izmēriem $1 \times 1$ , tad tai atbilstošā determinanta vērtība ir tabulas vienīgais skaitlis. To, kā aprēķināt augstāku kārtu determinantus, aplūkosim pēc tam, kad būs skaidrs, kas ir determinanta minori un adjunkti.

Determinanta minori un adjunkti

Par $n$ -tās kārtas determinanta elementam $a_{i j}$ atbilstošo minoru $M_{i j}$ sauc determinantu, ko iegūst, sākotnējā determinantā izsvītrojot $i$ -to rindu un $j$ -to kolonnu. Skaidrs, ka minori eksistē tikai determinantiem ar kārtu $2$ vai vairāk.

Par elementam $a_{i j}$ atbilstošo adjunktu $A_{i j}$ sauc skaitli ${(- 1)}^{i + j} \cdot M_{i j}$ .

Piemērs:

Dots trešās kārtas determinants $| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} |$ . Elementam $a_{23}$ atbilst minors $M_{23} = | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} |$ un arī adjunkts $A_{23} = {(- 1)}^{2 + 3} M_{23} = {(- 1)}^{5} \cdot | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} | = - | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{array} |$ .

Determinanta definīcija, izmantojot adjunktus

$n$ -tās kārtas determinantu (ja $n \geq 2$ ) $D$ var definēt šādi (to sauc par izvirzījumu pēc pirmās rindas): $D = \sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} A_{1 i}$ .

Otrās kārtas determinanta gadījumā varam iegūt šādu tā vērtības formulu:

$\begin{array}{l} | \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = \\ = a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} = \\ = a_{11} \cdot {(- 1)}^{1 + 1} \cdot M_{11} + a_{12} \cdot {(- 1)}^{1 + 2} \cdot M_{12} = \\ = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} = a_{11} | \begin{array}{c} a_{22} \end{array} | - a_{12} | \begin{array}{c} a_{21} \end{array} | = \\ = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{array}$

Šādi jebkuru $n$ -tās kārtas determinantu (ja $n \geq 2$ ) var izteikt ar determinantiem, kuru kārta par vienu mazāka.

Determinanta aprēķināšanas piemērs, izmantojot šo definīciju

$\begin{array}{l} | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{array} | = \\ = 1 \cdot (- 1)^{1 + 1} \cdot | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} | + 2 \cdot (- 1)^{1 + 2} \cdot | \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} | + 3 \cdot (- 1)^{1 + 3} \cdot | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} | = \\ = 1 \cdot | \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} | - 2 \cdot | \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & 5 \end{array} | + 3 \cdot | \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} | = \\ = 1 \cdot (3 \cdot 5 - 2 \cdot 4) - 2 \cdot (4 \cdot 5 - 2 \cdot 3) + 3 \cdot (4 \cdot 4 - 3 \cdot 3) = \\ = (15 - 8) - 2 \cdot (20 - 6) + 3 \cdot (16 - 9) = \\ = 7 - 2 \cdot 14 + 3 \cdot 7 = \\ = 7 - 28 + 21 = \\ = 0 \end{array}$